ㄚ,現在想起來,除了(-a)x(-b) = axb 這種負負得正以外,還有一種 -(-a) = a 的負負得正。後者比較單純,只與一種運算相關,也就是加法。我先把加法的情況講完了,再來講乘法的狀況。

這裡雖然出現 "-" 號,但我們故意一直說這是加法,因為我們偷懶,不想﹝用﹞多搞出一套叫做減法來。那什麼叫做 -a 咧,ㄟ,就是跟 a 加了以後會變成 0 的鼕鼕ㄚ。也就是說,什麼叫做妳欠我三塊錢,就是妳給我三塊錢以後我就再也不會碎碎念。

好,那為了清楚起見我們把 -(-a) 寫成好幾段,例如把 -a 寫成 b ,-b 寫成 c ,那我們的負負得正問題就變成 c 有沒有等於 a。

-a 被寫成 b 了,但照舊有 a +b = 0;
-b 被寫成 c 了,但照舊有 b +c = 0;

0 總該等於0 吧,所以當然有 a+b = b+c。

那既然我們很想要 a=c,所以我們就在上頭式子的兩邊同時加上一個 -b ,看看會怎麼樣:
a+b+(-b) = b+c+(-b)


左邊很好處理, a + b + (-b) = a + ( b + (-b) ) = a + 0 = a

右邊咧? 如果允許位置對調的話,就有 b+c+(-b) = b+(-b)+c = 0+c = c

也就是說我們可以宣佈證完啦。

顯然,這個證明的成立依賴運算本身允不允許它的鼕鼕隨便對調位置。允許的,我們就說這個運算有交換律。ㄚ抽象代數裡面如果用"+"這個符號來代表運算時,通常是指這個運算有交換律。如果要強調沒有交換律,那就用個很像乘法的小圈圈 "。"

我們小時候學的乘法是有交換律的,但其實那是一路硬凹出來的,所以會有某東西的負幾倍就不好理解的現象。但凹得出交換律還是了不起,因為不是每個性質都是想凹就凹得出來的。例如說,矩陣之間凹得出乘法,但就是無法凹?一個廣泛可交換的乘法來。

不能交換,那豈不是綁手綁腳啥都不能做?這也很難講,例如說,妳隨便拿一個 f ,右邊讓它圈一個 g ,左邊讓它圈一個 g-1,如果可以交換,那就有
g-1。f。g = g-1。g。f = 1。f = f

本來是左擁右抱的,一下子就變成孤零零一個 f 了。而且不管g 怎麼換,得到的永遠是f ,醬子多無聊ㄚ,哪還有什麼搞頭啦!這種特別的左擁右抱在群論裡叫做 conjugate ,我剛才一下想不起來它的中文叫做「共軛」,請教了無敵電子字典才赫然發現 conjugate 竟然有交配的意思,真是太神奇了。


﹝註,跟前頭的 -a 類似,這裡 g-1 就是指跟g圈了以後會變成 1的東西﹞