會寫這篇純粹是手癢,引發手癢的最起先原因是TGH的校園板上在討論教改問題,講著講著就出現了一篇《離題的數學問題》,作者王同學提到她對「如何證明負負得正?﹝為什麼負負得正?﹞」一直很好奇,也問了不少理工科朋友﹝註:但看來她還沒得到滿意的答案,所以還繼續好奇所以又問了一遍。﹞。王同學有解釋好奇的來源與這鍋問題與教改的可能相關性:

不知為何
我在讀postmoden simulacra之類的東西想到的
之後就一直很想知道
雖然跟教改一點關係也沒有
不過以前老師沒有教這個呀(負負就是得正,沒有為什麼)
如果老師有提到這個
搞不好我會因此覺得數學很有趣呀(我們不是一直被教育成只知其然,不知其所以然嗎)

我的回應是:
簡單說明負負得正的原因

這種東西妳如果去問數學系大三學過體論 (field) 的人應該就會。其他理工科,尤其工科的人通常並不管到這些細節 :P 。

用最粗略最像人話的方式講,我們的思考是先有負數﹝也就是加法與 "0"﹞、乘法﹝與 "1"﹞的概念以後,才出現負數怎麼跟負數相乘的問題。為了不破壞先有的這些概念,或者說,在服從這些概念之下,可以推導出來負負「只好」得正。

這個地方不太能怪當年老師沒教「為什麼」,一來是因為小時候教的加法、乘法本身就已經有邏輯上含混帶過的部分,自然到了負負得正這種地方就會更講不清。二來老師﹝如果夠好的話﹞應該會舉一些例子讓學生「背」的時候甘願一些,例如老師可能會問:

(-2)×(-3)+2×(-3)=?


那因為你已經學過很多 2×3+5×3=(2+5)×3, 3*(-8)+9*(-8)=(3+9)*(-8) 這類把相同因數提出來的運算規則,妳應該就會期望

(-2)×(-3)+2×(-3)= (-2+2)×(-3)


接著,因為 -2+2 = 0 這點是確定的,所以上面的式子的後半段變成0×(-3) = 0。也就是(-2)×(-3)+2×(-3) = 0.

另一方面,
2×3+2×(-3) = 2×(3+(-3)) = 2×0 = 0


兩個式子相比較,就有
(-2)×(-3) = 2×3

也就是負負得正的意思。

上面這些看起來像個傻瓜例子,但等到數學思考的成熟度夠的時候,自然就會清楚整個敘述推理過程裡面,何者該先何者該後,哪裡是真正的問題所在。或者說,把上面的例子裡的 2, 3 換成抽象的 a, b ,補上一些漏掉的超小推論,其實就是大學代數課本裡面的證明了。但難的是在培養這種抽象能力並不可能一步登天,必須給學生足夠的時間與樂趣去「玩」數字,讓她自己玩到夠說服自己 (-2)×(-3) 的確只能等於 2×3。


講點當時在討論板上沒講到的想法。

一、這鍋王同學也不曉得看得怎樣,丟出問題講過話人就跑了。我其實非常好奇是怎麼從 "postmoden simulacra " 聯想到負負得正的。是只有負負得正這個敘述呢,還是所有從小到大那些只背不懂的數學、科學敘述通通適用?是有個有意思的聯想脈絡,還是誤會加上亂想亂連?王同學在板上給我的印象是喜好後現代語彙的,我不討厭後現代理論,我也非常贊成理工科的人要多接受各類人文理論的訓練,但我也關心反方向的問題,例如:讀後現代理論的人需不需也看得懂負負得正這等程度的論述,什麼時候需要、什麼時候不需要,有沒有幫助、有哪樣的幫助?ㄟ,大膽點問:Post modernists 管這些問題嗎?

二、幾乎每一次聽到別人舉例講笑話,嘲笑現在的教改把小孩子的數學搞得一蹋糊塗時,我都會不知如何接腔。ㄟ,因為笑話裡面說的「蠢算法」十之八九都是我小時候拿來「自圓其說」的數學道理ㄚ。大家覺得醬子算得慢,但我小時候總得要沉溺在這類鼕鼕裡面玩到夠了,才會心滿意足相信這些是對的,然後才有法子安心去所謂地快速算出答案來。所以,我其實覺得這些蠢算法對學習數學是重要的。﹝插嘴:原來小痞子天生醬子機車疑心病重!﹞

但接不上腔倒不見得是覺得大家的嘲笑不合理。我從小覺得這部分的數學玩耍純粹是自己發瘋,我好像也不是太注意其他同學是不是也有想過這些,但大概很天生地自覺這些東西很難溝通,白日夢般自得其樂就好。現在聽到竟然這些自得其樂的東西竟然被規模化整理出來,感覺倒像是像驚訝心裡事忽然被翻出來一樣,當下只好發傻。

教改是個複雜的事情,除了直覺以外,我並沒有更多的了解好去評論它的數學教法到底對或不對。不過我還是願意招認,目前為止我看過的反對說法都讓我覺得不夠合理。不過這扯遠了,以後再說。:P